IN MEMORIAM ⟩ Suri väljapaistev matemaatik Gennadi Vainikko

Gennadi Vainikko sündis 31. mail 1938. aastal Karjalas, kust pere 1946. aastal Eestisse kolis. Sagedaste elukohtade vahetuse tõttu käis ta paljudes erinevates koolides, kuid keskkooli lõpetas kuldmedaliga 1956. aastal Kehras. Isa soovitusel astus ta Tartu ülikooli matemaatikateaduskonda, mille lõpetas 1961. aastal. Pärast õpinguid aspirantuuris 1961–1964 kaitses Gennadi Vainikko 1964. a Tartu ülikooli juures füüsika-matemaatikakandidaadi väitekirja (praeguses mõistes PhD) «Galjorkini meetodi täpsusest».

1964. aastal asus Gennadi Vainikko tööle Tartu ülikooli matemaatilise analüüsi kateedri assistendina. Mõneks ajaks (1965–1967) siirdus ta Voroneži ülikooli dotsendi ametikohale. Just sel ajal avanesid tema erakordne anne ja suur töövõime täies mahus. Vaid nelja aastaga valmis NSV Liidu teadussüsteemi kõrgeimat astet tähistav teaduste doktori töö «Lineaarsete ja mittelineaarsete operaatorite aproksimatsioonist ja operaatorvõrrandite ligikaudsest lahendamisest» (1969).

Tartu ülikooli professorina oli Gennadi Vainikko aastatel 1970–1992 arvutusmatemaatika kateedri juhataja ning 1992–1994 vastloodud rakendusmatemaatika instituudi diferentsiaal- ja integraalvõrrandite õppetooli juhataja. Kahekümne aasta vältel (1973–1993) pidas Gennadi Vainikko külalisprofessorina loenguid Saksamaa, Ameerika Ühendriikide, Soome, Läti, Venemaa ja Lõuna-Korea ülikoolides ning 1993–2003 oli ta professor Helsingi tehnikaülikoolis. Juba pensionieas töötas ta 2003–2004 Tallinna pedagoogikaülikoolis ja alates 2005. aastast Tartu ülikoolis vanemteadurina. 2006. aastal sai temast Tartu ülikooli emeriitprofessor.

Eesti teaduste akadeemia liikmeks valiti Gennadi Vainikko 1986. aastal. Keerulistel Eesti iseseisvuse taastamisele järgnenud teadusreformi aastatel (1990–1994) oli ta akadeemia asepresident.

Gennadi Vainikko teaduslikud huvid on olnud seotud spetsiifiliste integraal-, diferentsiaal- ja operaatorvõrranditega. Ta jõudis läbimurdeliste tulemusteni nii nende võrrandite fundamentaalsete omaduste analüüsimisel kui ka numbrilise lahendamise vallas. Ta on konstrueerinud efektiivsed lahendusmeetodid paljudele singulaarsetele võrranditele, loonud nn südamlike integraalvõrrandite teooria ning viinud selle ka praktikasse. Krooniks tema teadustööle on murruliselt diferentseeruvate funktsioonide mõnede omaduste täpne kirjeldus esimesena maailmas. Tema teadustööde loetelus on enam kui 300 nimetust, ta on paljude teedrajavate monograafiate autor või kaasautor, aga ka kirjutanud mitmeid kõrgkooliõpikuid ning olnud mitmekümne doktori- ja kandidaaditöö juhendajaks.

Gennadi Vainikko teadustööd on tunnustatud ENSV teenelise teadlase aunimetusega (1989), Eesti Vabariigi Valgetähe III klassi teenetemärgiga (1998), Tartu ülikooli suure ja väikese medali ning Eesti teaduste akadeemia medaliga. 2011. aastal pälvis ta teaduspreemia täppisteaduste alal uurimuste tsükli «Südamlikud Volterra integraalvõrrandid» eest ning 2017. aastal teaduse elutööpreemia.

Eesti Teaduste Akadeemia

Gennadi Vainikko 2017. aastal saadud teaduse elutööpreemia teadustöö olemusest ja tähtsusest

Sõnad matemaatikute töödes ja neid kirjeldavates tekstis võivad ju olla pealtnäha hirmutavad, aga tegelikult on nende taga täiesti igapäevased asjad, mille üksikuid põnevaid omadusi on eraldi rõhutatud. Matemaatika on nimelt selline teadus, kus on võimalik tõestada teatavas mõttes ideaalseid väiteid, midagi lõpliku tõe taolist, aga vaid siis, kui on täidetud mingid kindlad tingimused. Neid tingimusi täitvaid hulki ja süsteeme on tavaks nimetada suurte matemaatikute nimedega.

Kas ruum on täielik ja kuidas sünnivad kaugused?

Gennadi Vainikko üks kõige olulisemaid, ütleksin, et maailma muutvaid tulemusi on esitatud Banachi ruumide keeles. Meie tavaline kolmemõõtmeline ruum on Banachi ruumi lihtne näide. Kui valime mistahes punktide jada (olgu see maantee, Rail Baltic, kolmikhüppe maandumispunktid või kumalase lennu trajektoor), on selle lõpp-punkt kindlasti meie universumis ehk meiega samas ruumis. Matemaatikas öeldakse, et sellise omadusega hulgad on täielikud. Muide, universum ei pruugi selline olla, sest pole teada, mis saab näiteks musta auku neelatud asjadest.

Meie maailmas saame ka valida mingi meile eriti meeldiva koha, näiteks mandri-Eesti keskpunkti tähistava kivi Adavere lähedal, nimetada selle maailma nabaks, ja määratleda iga punkti kauguse sellest nabast teatavate kindlate reeglite alusel. Nii geograafiline kaugus taolisest keskmest kui ka paljud muud kauguse definitsioonid vastavad nn normi omadustele. Banachi ruumideks hüütakse just selliseid täielikke ruume, milles on defineeritud norm, teisisõnu, täielikke normeeritud ruume, mis mingis mõttes sarnased meile tuntud universumi osaga.

Ühel korralikus ruumis on rohkem kui pikkus, laius ja kõrgus

Meie igapäevane ruum on kolmemõõtmeline. Paberilehte saame lugeda kahemõõtmeliseks. Kui tõmbame lisaks veel ajatelje, astume neljamõõtmelisse aegruumi. Paljude meie kaasaegse tehnoloogia alustaladeks olevate hulkade ja struktuuride dimensioon ulatub aga lõpmatusse. Sellistega tuleb kohe tegemist teha, kui tahame näiteks raadiosignaali jagada üksikuteks sagedusteks või eristada mäslevast merest erineva pikkusega laineid. Nii harmooniline ehk Fourieranalüüs kui ka lainikute tehnoloogia toimetavad matemaatilises mõttes lõpmatumõõtmelises ruumis. Enamgi veel, tavaliselt ongi tõsist huvi pakkuvad Banachi ruumid lõpmatumõõtmelised. Sellisteks on näiteks mingil lõigul pidevate funktsioonide hulk. Ka funktsioonide jaoks saab määratleda kauguse analoogi teistest funktsioonidest samade reeglite järgi, millele vastab geograafiline kaugus.

Toimetades ruumi punktide ja juppidega

Operaator on matemaatikas teatav operatsioon – kujutus, funktsioon jne. Lihtne näide on pildi pööramine või kokkusurumine Photoshopis. Iga pikseli kohta saame näidata, kuhu see liigub või kuidas pöördub; või lausa kustutatakse. Kuna näiteks Banachi ruumi elementideks on funktsioonid, siis on mugav nendega toimetamist sõnastada operaatori mõiste kaudu. Nii on näiteks tuletise võtmine ja integreerimine näited operaatoritest. Ühikoperaator on selline tegevus, mille tulemusena üldse midagi ei muutu. Ühiskonnas on taolised ettevõtmised väga sagedased (muide, asendustegevus sinna ei kuulu, sest siis kulub ära hulk närve), aga matemaatika annab neile märksa sügavama, lausa fundamentaalse sisu.

Ruumi elementidega on võimalik sooritada väga mitmesuguseid operatsioone, millel ühiskonnas vastet ei olegi. Lineaarne operaator on üks lihtsamaid (nt liitmine ja lahutamine on lineaarsed operaatorid, aga korrutamine enam mitte) ja kompaktne operaator rahuldab veidi keerukamaid tingimusi. Mõnda operaatorit hüütakse projektoriks – nii nagu näiteks operatsioon, mis toimub fotoaparaadi või nutitelefoni obektiivis ja salvestusseadmes ja mille tulemusena saame kolmemõõtmelise kujutise salvestada kahemõõtmelisele fotole.

Kas midagi jääb väänates paigale?

Maailmas on olemas ka äärmiselt keerukaid operaatoreid või teisendusi. Isegi Photoshop laseb pilte kõikvõimalikul moel väänata ja pildi osi keerutada. Nende puhul otsitakse sageli selliseid pikseleid või elemente, mis kas jääksid lausa paigale või muutuks ainult nende pikkus. Taoliseid pikseleid (üldisemalt, ruumi elemente) nimetatakse omaelementideks ja seda suurust, mille võrra nende pikkus muutub, operaatori omaväärtuseks. Taoliste omaelementide ja omaväärtuste hulk annab tohutult väärtuslikku informatsiooni vaadeldava operaatori või teisenduse omaduste kohta.

Kuidas jõuda kõige nobedamini paigalseisu imeni

Muidugi tuleb selle info tõlgendamiseks tunda nii kirjeldatavat protsessi kui ka vastavat matemaatikat. Aga ikkagi on ju hea teada, et ka väga keerukate kataklüsmide puhul jäävad mõned kohad sisuliselt puutumata (või ehk õige veidi surutakse kokku või venitatakse välja). Maavärina puhul on ju turvalised just need kohad ajal, mil ülejäänud paisatakse segamini. Seetõttu on nende leidmine üks selle valla matemaatika keskseid ülesandeid. Täpselt on neid üsna harva võimalik arvutada. Siis ehitatakse teatav lähenduste jada. Gennadi Vainikkol õnnestus näidata, kui kiiresti taolist jada mööda liikudes saab omaväärtuseni jõuda. Enamgi veel, ta tõestas, et kiiremini ei saa. Selles mõttes on tema tulemus ideaalne, parim neist, mis võivad üldse olemas olla; ühe sõnaga: mitteparendatav. Taolised täpsed tulemused on isegi matemaatikas haruldased ning kõnesolev teoreem osutus selle valla üheks pioneeriks ja teenäitajaks.

Kõrgema matemaatika lävepakk

Tuletise võtmine (ehk funktsiooni või operaatori diferentseerimine) ja integreerimine on esimesed operatsioonid, kus lõpeb elementaarmatemaatika ja algab see maailm, mida hüütakse kõrgemaks matemaatikaks. Need toimingud on mõlemad tegelikult operaatorid, nii nagu tavapärane liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine. Gümnaasiumi matemaatikas õpitakse, kuidas võtta tuletist ja integraali. Neid operatsioone võib ju korrata ja arvutada teise, kolmanda jne. tuletise. Nii näiteks auto kiirendus on teist järku (ehk teine) tuletis tema asukohast kui aja funktsioonist ning paljude kõverate pindade pindala või keerukate kujundite ruumala saame arvutada integreerimise abil. Üsna lihtne on neid operatsioone teha mistahes (naturaalarv) korda. Probleem tekib aga siis, kui tahaksime näiteks võtta tuletist poolteist või integreerida 4,2 korda. Miski meie maailmas seda ei takista, aga kaua aega seda ka ei osatud. Tasapisi selgus, et murrulise diferentseerimise mõistet on kõige lihtsam defineerida hoopis murrulise integreerimise kaudu.

Lubatud või mitte

Kui üks operatsioon on defineeritud ja kasutusele võetud, olgu siis lihtsal või keerukal moel, kerkib matemaatikute ette kohe küsimus, et kus seda operatsiooni siis tegelikult kasutada tohib. Teame ju paljudest kurbadest kogemustest, et head mõtted, kui neid kasutada vales kohas, võivad viia lausa katastroofini. Meie igapäevases maailmas on selles mõttes liitmine, lahutamine ja korrutamine lihtsad või «healoomulised» tehted: mis iganes arvudele neid rakendame, saame ikka mingi tulemuse. Aga nulliga jagada ei õnnestu ja negatiivsetest arvudest ruutjuurt võtta niisama lihtsalt ei saa.

Sama küsimus käib selle kohta, millised funktsioonid on diferentseeruvad, olgu siis üks või mingi murdarv korda. Üks kord diferentseeruvate või integreeruvate funktsioonide jaoks sai see küsimus vastuse juba mitmesaja aasta eest. Murruliselt diferentseeruvate funktsioonide jaoks leidis vajalikud tingimused Gennadi Vainikko alles päris hiljuti, 2016. aastal. Mis veel kord ütleb, et tarkade inimeste jaoks on vanus ainult teatav arv ja pigem realiseerub küpses vanuses kogu see teadmiste ja kogemuste pagas, mis aastakümnetega omandatud.

Tarmo Soomere
Teaduste Akadeemia President

Kommentaarid