Füüsik Jaan Kalda: riik jättis olulise epideemia analüüsi meetodi kasutamata

Riigi käitumist vaadates jääb mulje nagu ei oleks viiruse levikut nüüdisaegsete, Eestis kasutada olevate vahenditega üldse modelleeritud, kirjutab füüsik Jaan Kalda.

Viiruse leviku toimimiseks tuleb esmalt mõista, et inimühiskond kujutab endast komplekssüsteemi. Need on paljudest koostisosadest koosnevad süsteemid, kus naaberkomponentide vahelised seosed põhjustavad kvalitatiivselt uudseid jooni süsteemi käitumises – eeskätt seda, et süsteem toodab aeg-ajalt ekstreemseid sündmusi - need on küll vähetõenäosed, kuid nende tekkimise võimalust ei saa ignoreerida.

20 protsenti ühiskonnast joob ära 80 protsenti õllest ja vaid üks protsent inimkonnast hoiab enda käes 99 protsenti varandusest (need numbrid ei pruugi päris täpsed olla, aga põhimõte kehtib). Vene teaduse populariseerija Jakov Perelman tõi hea näite oma eelmise sajandi alguses kirjutatud raamatus «Huvitav matemaatika»: tõenäosus, et 100 järjestikku visatud kulli ja kirja annavad kõik tulemuseks kulli on nii väike, et seda ei jõuaks ka terve Universumi eluea jooksul ära oodata, aga tõenäosus, et 100 esimest inimest tänaval on kõik mehed, on küll väike, kuid mitte kaduvväike: piisab sõjaväeparaadi külastamisest. Koroonaviiruse kiire levimine on üks järjekordne näide sellest, et ekstreemsed sündmused kontrollivad ühiskonda.

Viimasel paaril aastakümnel on saadud aru, et üheks olulisemaks ühiskonna struktuuri kirjeldavaks tahuks on  mastaabivabad võrgustikud – need on võrgustikud, kus keskset rolli mängivad suured sõlmpunktid, mis on ühendatud väga suure arvu teiste sõlmpunktidega; samas on seal ka väikseid sõlmpunkte, mis on ühenduses vaid väikese arvu naabritega. Üheks olulisemaks mastaabivaba võrgustiku omaduseks on, et puudub «keskmine», millega seda süsteemi analüüsida. Klassikaliseks näiteks on lennujaamade võrgustik, kus näiteks Tartu lennujaam on väike sõlm ja Frankfurt üks suuremaid, aga n-ö «keskmist» välja tuua ei ole erilist mõtet.

Hiljuti kaitses Tallinna Tehnikaülikoolis allakirjutanu juhendamisel Eesti pangaülekannete mastaabivaba võrgustiku teemal doktoritöö praegune Swedbanki analüütik Stephanie Rendon. Mastaabivabad võrgustikud on harilikult nn väikse-maailma võrgustikud (ingl small-world networks), mis tähendab, et terve süsteemi ühest suvalisest sõlmest on võimalik jõuda teise suvalisse sõlme mööda võrgustiku sidemeid liikudes väga väikese arvu sammude teel. Näiteks kui vaadelda teadusartiklite kaasautorsust sidemena, võib suvaliselt teadlaselt üle terve maailma jõuda teise suvalise teadlaseni keskmiselt viie-kuue sammuga.

2005. aasta jaanuaritormi ajal võinuks sõnum modelleerimise vajalikkusest jõuda ka teiste ametkondadeni.

Ka koroonaviirus levib mööda mastaabivaba võrgustikku – füüsiliste lähikontaktide võrgustikku –, olgu selleks siis vahetu kontakt (käe surumine), aevastamiskaugusel viibimine või sama eseme (nt ostukorvi sang) puudutamine. Et suvaliselt Eesti kodanikult teiseni on vaid vähem kui kümme sammu, võib viirus põhimõtteliselt levida kiiresti üle terve riigi.

On ammuteada fakt, et viiruse levikul on oluline roll nn superlevitajatel. Näiteks arvatakse, et ühel Ameerikas Bostonis toimunud konverentsil sai koroonaviiruse 77 inimest. Lähikontaktide võrgustiku üheks oluliseks aspektiks on sidemete geograafiliste pikkuste jaotumine: suur osa sidemeid on lühikesed – sama maja, sama linna või sama maakonna raames. Aga on ka väga pikki, kontinentidevahelisi sidemeid; mida pikem side, seda vähem neid on. Tegemist on astemeseadusliku, nn Lévy jaotusega. Uitliikumist, kus sammude pikkus allub Lévy jaotusele (selliseid samme nimetatakse ka Lévy lendudeks) saab kirjelda murrulisi tuletisi sisaldavate võrrandite abil.

Pika sissejuhatuse kokkuvõtteks – viiruse leviku modelleerimiseks on vaja kokku viia kokku mastaabivabad võrgustikud, Lévy lennud ja kõik me teadmised Covid-19 viiruse kohta. See nõuab üksjagu tööd, aga Eestis on pädevus selleks kindlasti olemas, näiteks on sedalaadi matemaatika eksperdiks Tehnikaülikooli professor Jaan Janno. Samas, esmaseid ja lihtsaid hinnanguid saab teha ka ilma niisugustesse detailidesse minemata, nagu allpool kirjeldan.

Aga nüüd küsimus: kas Eesti asjakohastes ametkondades on sellist modelleerimist tehtud?

21. sajand on andmekaeve sajand – Eesti-suguses IT-riigis võiks olla elementaarne, et igas ministeeriumis ja riigiametis on andmekaeve osakond, kus on modelleerimise kompetents ja suutlikkus üle maailma laekuvaid suurandmeid analüüsida. Ajakirjanduses koroonaviirusesse puutuvaid lugusid lugedes süveneb veendumus, et tegelikkuses meil riiklikult andmekaevega ja andmeteaduse meetodite rakendamisega ei tegelda ja iga ametkond jääb ootama võimalust iseenda vigadest õppimiseks. Meenutagem 2005. aasta jaanuaritormi: akadeemik Tarmo Soomere juhitav Tehnikaülikooli küberneetika instituudis asuv töörühm ennustas ohtlikult kõrget veetaset, mida riiklik meteoroloogiateenistus ei suutnud teha; veast õpiti ja nüüd on riiklik veetaseme ennustus väga heal tasemel. Toona võinuks sõnum modelleerimise vajalikkusest jõuda ka teiste ametkondadeni.

Terviseameti erakorralise meditsiini osakonna juhataja Martin Kadai kirjutas 8. märtsil Postimehes: «See, kas Eestis puhkeb koroonaviiruse epideemia, ei sõltu niivõrd meist endist, kuivõrd Eesti naabritest». Tegemist on ülimalt kergemeelse katsega vabaneda vastutusest: sel ajal, kui kaalul on sadade kui mitte tuhandete Eesti elanike elu, visatakse õhku lause, mis annab tunnistust igasuguse vähegi pädeva viiruse leviku modelleerimise puudumisest. Vaatleme graafikut, kus on näidatud haigestunute arvu sõltuvus päevade arvust, mis on möödunud hetkest, mil haigestunute arv ületas 100 piiri – seda erinevate riikide jaoks.

Kuivõrd vertikaaltelg on logaritmiline, siis vastab sirge joon eksponentsiaalsele kasvule. Suuremas osas riikides kasvab haigestunute arv täpselt sama valemi põhjal – kahekordistub iga 2,3 päeva järel ja kümnekordistub iga 7,7 päeva järel. Siin on paar erandit – esiteks Jaapan, kus kasv on märksa aeglasem, ilmselt tänu valitsuse efektiivsetele sammudele ning  teiseks Iraan ja Korea, kus algne kasvutempo on veelgi kiirem. Tõenäoliselt on siiski tegemist mõõteveaga – algstaadiumis ei jõudnud diagnoosimis­tempo tegelikule haigete arvu kasvule järele. 8. märtsil oli Eestis 10 registreeritud haiget. Pidi olema kas väga kergemeelne või väga veendunud kasutusele võetud meetmete efektiivsuses uskumaks, et peale nende 10 ei ole ühtegi teist koroonaviiruse kandjat ja et registreeritud haigete ning nende lähikontaktis olnute jälgimisega on võimalik asju kontrolli all hoida.

Umbes kuu aega tagasi, veebruari keskpaigas, võinuks selle graafiku põhjal suure kindlusega järeldada, et pandeemiast pole pääsu. See olnukski õige aeg meie ametkondade andmekaevajatel häirenupu vajutamiseks.

Martin Kadai jätkab: «Kui me vaatame Hiina kaasust, siis seal on uute haigusjuhtude arv drastiliselt langenud. See iseloomustab väga hästi seda, milleks see viirus võimeline on ja milleks ei ole.» Hiinas saavutati uute haigusjuhtude langemine tänu väga rangetele isolatsioonimeetmetele, mida meil pole siiani rakendatud. Eelmine graafik demonstreerib, mida teeb koroonaviirus riikides, kus rangeid meetmeid ei rakendata. Aga vaatame, mida teeb viirus terves maailmas – seal on meie võimalused asjade käiku mõjutada juba märksa väiksemad ja peame piirduma vaatleja rolliga.

Terve maailma graafikul ei ole arvestatud Hiina, Korea ja Jaapani haigestunutega, sest Hiina on tugevas ajalises nihkes ja Korea ning Jaapani haigestunute arv kasvab anomaalselt aeglaselt. Umbes poolteist kuud tagasi toimus väga järsk haigestunute arvu kasv, mis on tõenäoliselt jälle mõõteviga – paljud haiguskandjad ei olnud lihtsalt õigel ajal tuvastatud. Sellele järgnes stabiilne eksponentsiaalne kasv – kahekordistumine iga 5,9 päeva järel. Umbes kuu aega tagasi, veebruari keskpaigas, võinuks selle graafiku põhjal suure kindlusega järeldada, et pandeemiast pole pääsu. See olnukski õige aeg meie ametkondade andmekaevajatel häirenupu vajutamiseks ja Eesti riigis väga tugevate meetmete kehtestamiseks, mille oluliseks komponendiks pidanuks olema kõigi gripitunnustega inimeste koroonaviiruse osas testimine ning testimisvõimekuse hüppeline tõstmine.

Huvitavaks asjaoluks on, et globaalselt on eksponentsiaalse kasvu tempo märksa aeglasem, kui üksikus riigis: haigestunute arv ei kahekordistu mitte 2,3 päevaga, vaid 5,9 päevaga. See ongi koht, kus tulevad mängu Lévy lennud mastaabivabas kontaktide võrgustikus: erinevates riikides käivituvad eksponentsiaalsed kasvuprotsessid teatavas ajalises nihkes ja seetõttu kasvab eksponentide summa aeglasemalt, kui üksik eksponent. Umbes kolm nädalat tagasi jõudis viirus kanda kinnitada Euroopas ning Euroopa riigid on üksteisega tihedates kontaktides – eksponentide ajaline nihe on väiksem, mistõttu eksponentide summa kasvab nüüd kiiremini: globaalne haigestunute kahekordistumine toimub juba 3,3 päevaga.

Paanikat on kindlasti vaja vältida, kui massiüritustel tekib tulekahju või lennuk teeb hädamaandumise, aga viiruse puhul aitab «paanika» inimestel vähendada lähikontaktide arvu.

Martin Kadai jätkab: «Aga praeguste suuremate kaasuste alusel võib eeldada, et globaalset pandeemiat ei pruugi tekkida, sest me ei tea täna ka seda, kas see viirus käitub sesoonselt. Aga täna on olemas eeldus, et see levib sesoonselt ehk valdavalt sügisest kevadeni.»

Ma ei tahaks hästi uskuda, et Terviseameti erakorralise meditsiini osakonnas juhindutakse oma tegevuste planeerimisel vaid kõige roosamatest oletustest ja loodan, et see oli öeldud vaid üldsuse rahustamiseks. Iseküsimus on see, kas üldsuse rahustamine oli antud olukorras mõistlik: paanikat on kindlasti vaja vältida, kui massiüritustel tekib tulekahju või lennuk teeb hädamaandumise, aga viiruse puhul aitab «paanika» inimestel vähendada lähikontaktide arvu. Muuhulgas kui paanikas inimene varub ühe poeskäiguga terve kuu tagavara, siis käib ta edaspidi hulga hõredamalt kaubanduskeskustes.

Aga meil ei ole vaja oletada, võime vaadata andmeid. Võtame riigid ja piirkonnad, kus praegu on soe. Hiinas Guangdongi piirkonnas oli ka jaanuari alguses sama soe kui meil suvel. Iraanis on praegu samuti meie mõistes suvi.

Graafikul on lisaks iga riigi kõverale toodud ära ka esimeselt graafikult pärit sirgjoon, mis vastab kahekordistumisele 2,3 päeva jooksul. Guangdongi kõver järgib algfaasis seda trendi üsna hästi – kuni hetkeni, mil kehtestati range režiim. Singapuri võimud tegutsesid adekvaatselt ja suutsid eksponentsiaalse kasvu peatada. Aga ülearuseks optimismiks ei näi põhjust olema.

Peatugem nüüd kahel olulisel aspektil: koroonaviiruse peiteaja pikkus ja sümptomite avaldumisele eelneva nakkavuse perioodi pikkus. Nendes arvudes ei ole veel täit kindlust – erinevad uurimused annavad mõnevõrra erinevaid tulemusi. WHO annab keskmiseks peiteaja pikkuseks 5 päeva ja möönab, et sümptomite-eelne nakkumine võib toimuda ühe kuni kahe päeva jooksul. Värske uurimus annab keskmiseks peiteajaks 7 kuni 9 päeva ja sümptomite-eelse nakkumise perioodiks 2 kuni 3 päeva. Võtkem optimistlikult väiksemad numbrid, 5 ja 2. See tähendab, et kui homsest rakendataks tõeliselt efektiivsed meetmed, hakkaksid need tuntavaid tulemusi andma alles viie päeva pärast, mis tähendab, et eksponentsiaalne kasv jätkuks samas tempos veel vähemalt viis päeva, viies nakatunute arvu vähemalt neljakordseks.

Edasine prognoos sõltub valitsuse sammudest. Selleks, et nakatunute arv hakkaks kahanema, oleks vaja, et ühe viirushaige poolt nakatatud inimeste keskmine hulk ehk nn reproduktsiooniarv oleks ühest väiksem. Ülaltoodud andmete põhjal on võimalik hinnata reproduktsiooniarvu, mis on üldkasutatava mudeli kohaselt seotud nakatunute kasvutempoga (2 korda 2,3 päeva jooksul), nakkumishetkest nakatusohtlikuks muutumiseni vältava perioodi pikkusega (5-2=3 päeva) ja sümptomite-eelse nakkuvusperioodi pikkusega (2 päeva). Arvutuste tulemusel saame reproduktsiooniarvuks 3,05.

Niisiis peaks igaüks vähendama oma lähikontaktsete inimeste arvu vähemalt kolm korda – see ei kõlagi väga võimatu ülesandena. Aga juhul, kui reproduktsiooniarvu ei suudeta viia väiksemaks kui üks, ei jää muud üle, kui oodata ära kuni kogu rahvastik on haiguse läbi põdenud. Kui kasv jätkub praeguses tempos, siis on ühe kuu pärast nakatunud kogu Eesti.

Niisiis, valitsuse sammud peaksid olema esmalt suunatud reproduktsiooniarvu vähendamisele. Tõhus viis [selle saavutamiseks] oleks mastaabivaba kontaktvõrgustiku suurimate võrgusõlmede «väljalõikamine» – kaubanduskeskuste sulgemine ja kogu tarbekaubanduse viimine e-kaubanduse alustele (kasutagem muuhulgas Starship’i robotite potentsiaali!) ning ühistranspordi piiramine (nt inimesi lastakse sisse mitte rohkem, kui 30% täituvuseni ja lõpp-peatuses desinfitseeritud ja vastava kleepsuga tähistatud istekohtade lõppemiseni).

Teiseks oleks kindlasti abi kõigi nakatunute võimalikult kiirest diagnoosimisest: võib ju küll rõhutada, et ükski gripilaadsete nähtudega inimene ei tohi väljas liikuda, aga inimene, kes teab, et on haige, jääb kindlamalt koju võrreldes sellega, kes loodab, et ei ole nakatunud. 81 eurot ühe analüüsi eest ei tohiks käia riigile üle jõu – sest just üks tegemata analüüs võib maksma minna inimese elu. Kui juba soovituste andmiseks läks, siis peaks riik alustama viivitamatult tõsiseltvõetava modelleerimisega, et prognoosida haigestunute dünaamika sõltuvust plaanitavatest meetmetest ning vajadusel katsuma hankida juurde hingamisaparaate.

Kui planeerida, mis aega lükata rahvarohkeid sündmusi, siis kindlam on jätta kõik aasta lõpu lähedusse: kui hästi läheb, saaks varem, aga on suur tõenäosus, et viirusoht püsib pool aastat või enamgi.

Praegusel hetkel oli Saare- ja Muhumaa isoleerimine mandrist võrdlemisi mõttetu samm: viirus on oma hüppe (Lévy lennu) Kuressaarest mandrile juba teinud. Mandril on mitmes kohas omad kolded ja kohalik eksponentsiaalne kasv juba käivitunud. Juhul, kui neid koldeid veel poleks, siis aitaks Lévy lendude võimaluse kõrvaldamine kindlasti üle-eestilist levikukiirust aeglustada, aga praegu enam mitte. Praegu domineerib piirkondades (Tallinn, Viljandi jne) kohalik eksponentsiaalne kasv ja paar üksikut täiendavat nakatumist tänu mandrile tulevatele saarlastele on sellega võrreldes kaduvväike. Peatähelepanu tuleks pöörata kohapealsele lähikontaktide vähendamisele. Ainus, mida Muhu- ja Saaremaa isoleerimisega saavutatakse, on suured ebamugavused neile, kel üks majapidamine või ülalpeetav seal ja teine mandril või töökoht linnas ja elukoht saarel. Öeldu ei kehti teiste saarte puhul, kus viirust veel pole – heal juhul võib õnnestuda vältida viiruse levikut nendesse kohtadesse.

Aga millal see kõik mööda saab? Kui Eesti valitsuse sammud on edukad ja me saame haiguse kontrolli alla samamoodi nagu Hiinas saadi, siis pole ometigi veel võimalik kergemalt hingata: nakkuse väljastpoolt sisse toomise oht püsib. Kui globaalne nakatumise tempo jääks püsima, siis nakatuks kogu planeet Maa elanikkond umbes kahe kuu jooksul. Kindlasti aeglustub kasvutempo enne seda, aga teatava ajamastaabi saame ikkagi: tõenäoliselt me ei tee väga suurt viga, kui ütleme, et ligi-eksponentsiaalne kasv (väheneva eksponendinäitajaga) jätkub kahe kuu jooksul, järgmise kahe kuu jooksul püsib ligi-lineaarne kasv ning haigestumiste arvu tuntavaks kahanemiseks läheb veel kaks kuud. Kui planeerida, mis aega lükata rahvarohkeid sündmusi, siis kindlam on jätta kõik aasta lõpu lähedusse: kui hästi läheb, saaks varem, aga on suur tõenäosus, et viirusoht püsib pool aastat või enamgi.

Jaan Kalda on Tallinna Tehnikaülikooli professor ja füüsika osakonna juhataja.