Matemaatik Juhan Aru seletab läbi matemaatika, miks koroonaviirus nii ohtlik on

Pilt on illustreeriv. Foto: SCANPIX

Koroonaviiruse levik allub matemaatikast ammu tuntud eksponentsiaalse kasvu valemitele nii puhtalt ja ehedalt, et teeb kohe murelikuks. Kuidas matemaatika pandeemia levikut kajastab, kirjutab matemaatik Juhan Aru.

Johns Hopkinsi Ülikooli lehelt võib igaüks alla laadida koronaaviiruse leviku toorandmed erinevates riikides, trükkida nad Excelisse ja lasta programmil mõned graafikuid joonistada:

Joonise y-teljel on registreeritud juhtumite arv, ja x-teljel tähendab iga punkt uut päeva. Itaalias paistab haigus kiiresti arenevat, aga kas mujal on tõesti veel kõik rahulik? Märkame, et Itaalias oli uute juhtumite arvu kasv alguses aeglane ja siis järsku kiirenes. Aga kui kiireks ta muutub? Ja kas peaksime sarnast käitumist ootama ka mujal? Kui täna on 10 juhtu, siis mitu juhtu on kümne päeva pärast? Palju on nakatunuid kahekümne päeva pärast? Selliseid arvutusi teevad epideemiatel silma peal hoidvad tervishoiuasutused iga päev ning neid tagamaid üritamegi järgnevalt avada ja selgitada.

Mõtiskleme natuke viiruse leviku üle, püstitame mõned hüpoteesid ja vaatame seejärel uuesti neid graafikuid. Kuidas viirus levib? Keegi nakatub ja tahes-tahtmata nakatab juba teisi - võib-olla neile kogemata peale köhatades, võib-olla puudutades enne oma nägu ja siis mõnda ühiskasutatavat pinda, kust järgmine juba viiruse näpuotsaga üles korjab ning näiteks silmi hõõrudes oma organismi viib.

Üks laialt levinud viis viiruse levikut kirjeldada on nakatumispuuga: joonistame puu, mille juur on esimene haige, kus iga oksakoht tähistab ühte nakatunut ning samast oksakohast algavad harud kirjeldavad ühelt samalt inimeselt haiguse saanuid. Nakatumise levikut kirjeldab siis selle puu areng.

Oletame esiteks, et iga nakatunu annab viiruse edasi täpselt ühele inimesele ja näiteks ühe päeva jooksul. Sellist asjade käiku kirjeldab joonisel 2 vasemal toodud puu – 3 päeva pärast on 3 haiget, 10 päeva pärast on 10 haiget, 100 päeva pärast 100 haiget.

Oletame aga teisalt, et iga nakatunu annab viiruse edasi täpselt kahele inimesele ja jällegi kolme päeva jooksul. Sellist asjade käiku kirjeldab joonisel 2 paremal toodud puu – 3 päeva pärast on 1 + 2 + 2*2 + 2*2*2 = 15 haiget, 10 päeva pärast 2047 haiget ja 100 päeva pärast umbes 10³⁰ haiget!

Foto: Juhan Aru

Sellist kosmilist kasvu kirjeldab eksponentsiaalfunktsioon - N(x) = R₀^x. Haiguste leviku ja eksponentsiaalfunktsiooni seos on hästi teada juba ligi 100 aastat, ning põhjalikult uuritud. Vaatame korraks veel näidet, kus R₀ = 2 ehk N(X) = R₀^x. kui päeval 1 on 1 nakatunu, siis järgmisel päeval on juba 2 uut nakatunut ja 10 päeva pärast 2¹⁰ ehk ligikaudu 1000 uut nakatunut. Kuigi päriselus ei ole viiruse levik nii range - mõnikord nakatakse üks uus inimene, mõnikord 2, mõnikord 17 - ning lisaks aja jooksul inimesed tervenevad ning saavad immuunseks, kirjeldab ühe viiruse algset, pidurdamata kasvu siiski eksponentsiaalfunktsioon.

Teisisõnu, pea iga haiguse algfaasis võime päeval N uute haigete arvu kirjeldada kujus R₀^N, ning R₀ on reaalarv, mis kirjeldab haiguse levikut ning mida kutsutakse haiguse reproduktsiooni baasmääraks – kurjaks konstandiks. Arvu R₀ võib tõlgendada järgmiselt: kui päeval N on K haigestunut, siis päeval N+1 on ligikaudu K*R₀ haigestunut, võttes arvesse nii uued haigestumised kui paranemised. Kui R₀ on suurem kui üks, siis on haigestumisi rohkem kui paranemisi ning haigus levib eksponentsiaalselt – seda kirjeldab parempoolne puu Joonisel 2. kui R₀ = 1, siis on olukord üsna stabiilne, seda kirjeldab vasempoolne puu. Kui R₀ < 1, siis hakkab haigestunute arv vähenema.

Nüüd leidsimegi mingi lihtsustatud mudeli viiruse levikule. Aga kuidas see reaalsusele vastab? Vaatame uuesti artikli alguse joonist, aga seekord tähistame joone kõrgusega mitte haigestunute arvu, vaid hoopis tema logaritmi - ehk siis iga punkt tähistab arvu M, mille korral 2^M = haigusjuhtude arv. Kui kasv on tõesti eksponentsiaalne, peaks joon tulema üsna ilus ja sirge – tõepoolest, kui võtame logaritmi eksponentsiaalfunktsioonist R₀^x same lihtsalt sirge x*log R₀. Veelgi enam, sirge tõus annab meile reproduktsioonikonstandi R₀ väärtuse. Vaatame nüüd seda uut joonist:

Näeme jooniselt, et tõesti, kõik kõverad meenutavad käsitsi joonistatud sirgjoont – väikesed kõverused on, aga üldine suund on selge ja sirge. Seega võib järeldada, et kõikides kirjeldatud riikides kasvab haigusjuhtude arv eksponentsiaalselt. Veelgi enam, märkame, et need sirged on paralleelsed ehk nende tõusud on enam-vähem samad. See tähendab, et haigus levib kõikides mainitud riikides üsna sarnaselt, üsna võrreldava kiirusega.

Uurides arve ja graafikuid lähemalt, näeme, et haigusjuhtude arv kahekordistub umbkaudu 3 päevaga, seega kirjeldab järgmine lihtsustatud mudel haiguse kasvu kõikides riikides üsna täpselt: kui päeval 1 on 1 haige, siis 3N päeva pärast on ligikaudu 2^{N} haiget. Kui näiteks Eestiski juhtuks sama ja viiruse levikule piiri ei panda, oleks märtsi lõpuks juba umbkaudu 250 haiget, kümnendaks aprilliks 1000 haiget, kahekümnendaks 10 000, aprilli lõpuks juba ligikaudu 100 000 haiget ning - nii jätkates - kümnendaks maiks juba 1 000 000 nakatunut.

Päris nii muidugi kindlasti ei lähe. Viiruse levik aeglustub tegelikult juba iseenesest. Nimelt juba nakatunuid ei saa uuesti nakatada ja võimalusi nakatada seetõttu väheneb; seejuures võetakse üldiselt kasutusse ka uusi rangemaid meetmeid leviku piiramiseks, mis jällegi levikut pidurdavad.

Näiteks, uurides joonist 3 veel kord märkame, et lõpupäevadel on Lõuna-Koread kirjeldavad joonega toimumas väike muutus – sirgjoon on kõverdumas ja eksponentsiaalne kasv on pidurdumas. Põhjus on lihtne – mõni aeg tagasi võeti kasutusele rangemad meetmed, vähendamaks haiguse edasikandumist, reproduktsiooni määr R₀ hakkas langema, lähenema kriitilisele väärtusele 1 ning eksponentsiaalne kasv tasaspisi pidurduma. Itaalias alustati rangete meetmetega mõne päeva eest ning ilmselt võiks loota, et sealgi hakkab eksponentsiaalne kasv tasapisi aeglustuma.

Matemaatikuna on tore näha nõnda selget eksponentisaalset kasvu - nii ehe, nii puhas! Natukene murelikuks teeb ta siiski ka. Nimelt on teada, et koroonaviirus võib tappa ligikaudu 2-3 protsenti haigestunutest. Praeguste andmete järgi noortel eriti muret pole, protsent on veel ligi 10 korda madalam, aga vanemas eas või riskirühma kuulujate jaoks on tegemist juba tõsise ohuga. Ennekõike kujuneb see ohuks, kui tervishoiuteenused saavad ülekoormatud. Oleme näinud seda juba Itaalias juhtuvat, kuigi kogupatsientide arv ei paistagi ehk nii suur.

Kas see võib juhtuda ka mujal? Esimesel graafikul paistsid Hispaania, Prantsusmaa, Saksamaa veel üsna heas seisus olevat. Kuid teise graafiku põhjal näeme, et viirus levib neis maades täpselt sama kiiresti – areng on lihtsalt ligi 10 päeva Itaaliast maas. Võime loota, et teistes maades läheb paremini, aga kui reproduktsiooni baasmäär R₀ ei kahane, võivad asjad minna keeruliseks üsna kiiresti. See on eksponentsiaalse kasvu eripära – alguses näib kõik aeglaselt arenevat, aga järsku hakkab juhtude arv iga kolme päeva pärast kahekordistama. Kui täna on 100 juhtu, kolme päeva pärast 200, 10 päeva pärast rohkem kui 8000 ja 16 päeva pärast juba enam kui 30 000!

Kokkuvõtteks - koroonaviirust ja tema kiiret levikut kirjeldavad ilusad eksponentsiaalkõverad, mida tuleks aga tõsiselt võtta. See viirus ei ole ühegi üksikisiku mure, tegemist on kogu ühiskonna ühise murega ja selle vastu saame võidelda ainult üheskoos. Lõuna-Korea - või veel parem Singapuri näitel, kus rangete meetmete toel sisuliselt ei jõutudki eksponentsiaalse kasvuni - näeme, et viiruse levikut on võimalik aeglustada, kui oleme kõik nõus väikeste muutuste ja piirangutega oma igapäevaelus, kui vähendame üheskoos võimalusi viiruse edasikandumiseks. Nii saame kõik koos kaitsta riskirühma, ja tegelikult hoida kogu ühiskonna ja majanduse tervist. Mida hiljem meetmetega alustame, seda rangemalt seda tegema peame – iga kolme päevaga on meil praegu kaks korda rohkem haigeid. Niisiis – asugem parem kohe koos reproduktsiooni baasmäära R₀, seda koroona kurja kasvukonstanti allapoole kallutama!