Juhan Aru: matemaatika kui laulupidu

Pilt on illustreeriv Foto: Tiina Oja / PM/Scanpix Baltics

Võib-olla on matemaatika repertuaar veidi sarnane laulupeo repertuaarile. Nii nagu laupeol on laule, mille meloodiat igaüks teab, on matemaatikas klassikalisi küsimusi, millest on kuulnud kõik matemaatikud, kirjutab matemaatik Juhan Aru.

Eesti Noorte Teaduste Akadeemia algatatud artiklisarjas «Milleks meile alusteadused?» tutvustavad erinevate valdkondade teadlased oma erialasid ning selgitavad, kuidas uudishimu poolt juhitud teadus võimaldab nihutada inimkonna teadmiste piire.

Üks kuulsamaid selliseid igivanu (veel lahendamata) küsimusi käsitleb algarve – arve, mis jaguvad ainult ise-endaga. Näiteks 2,3,5,7 on algarvud, aga mitte 8 = 4x2 või 15 = 3x5. Küsimus ise on järgmine: kas leidub lõpmatult palju paarisalgarve, või teisisõnu algarvude paare, mille vahe on täpselt kaks? Näiteks (3,5), (5,7), (101,103) oleksid sobivad algarvude paarid, aga, kas selliseid paare leidub lõpmatult palju?

Suuremas jaos peab aga matemaatika laulupeo kombel igapäevaga sammu - lisanduvad uued küsimused, uued probleemid, mis seostuvad meid täna ümbritsevaga. Eriti kiiresti on matemaatika arenenud ja teisenenud just viimasel kahel sajandil, just nii nagu elu ise.

Siiski on matemaatiku ja laulupeol esineja vahel ainult pisike erinevus - matemaatikule ei ole ühte «õiget ja tähtsat» küsimust ette antud, iga matemaatiku tööviis on enamasti otsiv. Heade ja viljakate küsimuste otsimine ja leidmine on oluline osa matemaatikast. Otsime küsimusi, millele meil praeguste teadmiste raames võiks õnnestuda vastata, millest meil võiks õnnestuda aru saada, kuid millest arusaamine nihutaks pisut edasi meie tänaste teadmiste piire. Minu jaoks on matemaatika üks eesmärke lihtsustada mõtlemist, avardada tasapisi mõttemaailma – lubada mõtelda paremini, vabamalt, rohkemast – lauldes mõtelda! Ja paistab, et see mõtlemise lihtsustumine, millestki arusaamine, rikastab ka ümbritsevat maailma.

Kuigi just kirjeldasin üht vastamata küsimust arvuteooriast, saame arvudest tegelikult juba päris hästi aru. Hästi saame aru ka kõikidest ilusatest geomeetrilistest struktuuridest – kolmnurkadest, ristkülikutest, kuupidest ja tetraeedritest. Arusaamine tähendab siin näiteks seda, et oskame kõike arvutada, selgitada, ennustada, oskame eraldada olulised omadused ebaolulistest. See arusaam laieneb kõigile objektidele, kus on piisavalt palju sümmeetriat, kus on täpsed, algebralised seoseid nagu näiteks arvude vahel. See arusaam on aidanud ehitada arvuti ja on peidus ka näiteks ID-kaardis – kogu krüpteerimine põhineb arvuteoorial.

Teine valdkond, millega minu meelest juba päris hästi toime tuleme, on puhas juhuslikkus. Näiteks – oletame, et meile on antud ideaalne münt ja ideaalne mündiviskaja, kõigest muust nii hoolega isoleeritud, et iga tema vise annab tõenäosusega 0,5 tulemiks kirja, tõenäosusega 0,5 tulemiks kulli. Nüüd, olgugi et me ei saa ette näha ühe konkreetse viske tulemit, teame üsna hästi, mida oodata - oskame ennustada, mitu kulli või kirja võib saja viskega tulla, kui kaua võiks minna esimese kullini ja nii edasi. Meie ennustused on tõenäosuslikud, aga me teame, kui suured on meie ennustamisvead, ja sellest on juba palju abi. Lisaks sellele, et mõned matemaatika tudengid on puhta tõenäosusteooria abil rikkaks saanud, kasutades ära näiteks loteriikorraldajate teoreetilisi lünki, on tõenäosuse mõistmine kesksel kohal finantsturgude ennustamisel, haiguspõhjuste leidmisel geenidest, kindlustuspoliiside hindamisel, Google’i otsingumootoris ja ministeeriumites kõiksugu otsuste tegemisel (loodetavasti).

Aga kui tõenäosusteooria töötab ja me sellest juba aru saame, miks siis tuleb iga järgmine finantskriis ikkagi üllatusena? Miks me ei saa aru laulupeo ilma kujundavatest protsessidest või näiteks meie enda ajust? Kui me oskame täpselt statistilisi mustreid ette ennustada, tõenäosuse ja statistika abil eraldada olulise ebaolulisest, peaks ju kontroll olema meie käes?

Ent maailm ei koosne ainult ühest ideaalsest mündiviskajast ja meie küsimused ei piirdu sellega, et mitu kulli saja viskega tuleb. Tõepoolest, lihtsustatult võib näiteks mõelda, et meie ajus on iga närvirakk justkui üks mündiviskaja ja kui ta viskab kulli, siis annab rakk signaali edasi. Need mündiviskajad räägivad omavahel ja kui üks neist viskab kulli (kui üks rakk tuliskleb), viskab ilmselt ka mõni teine tema lähedal (tulisklevad ka naaberrakud). Meid ei huvita tegelikult, mitu kulli nad kamba peale viskavad, vaid hoopis näiteks see, milline on nende kullide ja kirjade geomeetriline muster üle kogu aju, ning enamgi veel, kuidas nende koordineeritud viskamine viib selleni, et me rõõmustame, kurvastame, arvutame.

Tuleb välja, et tegelikult ei ole ka arvuteooriast antud näide sellisest mõtlemisest eriti kaugel. Nimelt, kuigi algarvud on kogu arvumaailma alusklotsid korrutamise suhtes (iga täisarvu võib kirjutada algarvude korrutisena täpselt ühel moel: 6 = 2x3, 8 = 2x2x2, 14 = 2x7, 2019 = 3x673) käituvad algarvud oma paiknemise suhtes üsna juhuslikult – algarvude paiknemist teiste arvude seas osatakse praegu kõige paremini uurida ja kirjeldada, kasutades jällegi teatavat mündiviskajate mudelit. Lihtsustatult võib mõelda, et iga arvu jaoks viskame ühte väga spetsiifilist, kallutatud münti ja otsustame seejärel, kas tegemist on algarvuga või ei ole. Mudel ise on siinkohal lihtne, raske on aga matemaatiliselt kirja panna, miks selline mudel või täpsemini selle teatavad edasiarendused ikkagi algarvude paiknemist kirjeldavad.

Ka minu töö ja matemaatilised otsingud sõlmuvad süsteemide ja mudelitega, kus piltlikult öelduna leidub palju teineteisega seotud, aga siiski sisimas sõltumatuid mündiviskajaid. Või teisisõnu, uurin matemaatilisi mudeleid, kus kohtuvad juhuslikkus (mündiviskajad) ja teatav struktuur (seosed mündiviskajate vahel ja moodustuvad mustrid). Seda valdkonda nimetatakse mõnikord «juhuslikuks geomeetriaks», ning mulle tundub, et see sõnapaar on tabav ka matemaatikute tööviisi kirjeldamiseks: ühelt poolt on meie otsingutes pisut juhuslikkust, sest enamasti me ei tea, kuhu täpselt läheme ja kas sammume üldse õiges suunas, kas küsime õigeid küsimusi, kas varsti saame millestki olulisest aru… Teisalt, kui vaadata matemaatika ajalugu, tema mõju ja tulemusi, paistab matemaatikast kui teadusharust välja teatav struktuur, korrastatus ja suunatud areng – teatav geomeetria; on märgata põimumisi erinevate valdkondade vahel, tihedaid võrseid teistese teadustesse, ning vastu kumab - vähemalt minu jaoks - ka teatav ilu. Jah, matemaatika nagu laulupidu, ühtaegu on seal midagi suurt, ühendavat ja ülendavat, ning samas leidub igaühele natuke isiklikku.